Usar la regla binomial

Miguel escribe el cálculo en la pizarra utilizando la regla binomial: 

4 × (¼) × (¾)³ = 4 × ¼ × (27/64) = 108/256 = 42.2%

El Dr. Lorenzo mira alrededor y nota algunas expresiones de desconcierto en el aula. Varios estudiantes no están seguros de cómo pasar de esta expresión numérica a una comprensión más profunda de cómo funciona la regla binomial en genética.

Dr. Lorenzo: Esta fórmula surge de la expansión binomial (a + b)ⁿ. Para un solo evento, como el genotipo de un hijo, si ‘a’ es la probabilidad de estar afectado (1/4) y ‘b’ es la probabilidad de no estar afectado (3/4), y si tenemos n = 4 hijos, entonces cualquier número específico de hijos afectados puede determinarse mediante el término:

p = k x aᵏ × b⁽ⁿ⁻ᵏ⁾

donde, 

•  p es la probabilidad del evento que queremos calcular (en este caso, 1 de 4 hijos con la enfermedad)

•  k es el número de eventos que queremos (en este caso, 1 hijo)

•  n es el número total de eventos (en este caso, 4 hijos)

•  a es la probabilidad del evento que queremos (en este caso, ¼)

•  b es la probabilidad de los otros eventos (en este caso, ¾)

Como queríamos exactamente un hijo afectado entre cuatro, fijamos k = 1, a = 1/4 y b = 3/4. El coeficiente (n elige k) = (4 elige 1) = 4 indica el número de maneras distintas de ordenar exactamente un hijo afectado entre cuatro nacimientos. Cada escenario tiene una probabilidad de (1/4)¹ × (3/4)³. Al multiplicar todo:

4 × (1/4) × (3/4)³ = 4 × 0.25 × (0.75)³  = 0.421875, es decir, aproximadamente un 42.2%.

Este cálculo tiene en cuenta cada posible orden de nacimiento de ese único niño afectado.

Podemos adaptar fácilmente este caso a situaciones como “exactamente dos hijos afectados de cuatro”. En ese caso, usaríamos (4 elige 2), (1/4)² y (3/4)². La clave es: el teorema binomial garantiza que sumamos todas las disposiciones, en lugar de centrarnos en una sola secuencia de nacimientos. Esto es crucial en genética, donde cada embarazo es un evento independiente. Dominando esta fórmula, podéis predecir con precisión la distribución de genotipos dentro de las familias y responder a preguntas sobre cuántos hijos podrían estar afectados o no en distintas circunstancias.

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