Χρησιμοποιώντας τον Δυωνυμικό Κανόνα.

Ο Μιχάλης γράφει τον υπολογισμό στον πίνακα χρησιμοποιώντας τον δυωνυμικό κανόνα:

4 × (¼) × (¾)³ = 4 × ¼ × (27/64) = 108/256 = 42,2%

Η Δρ. Αντωνίου ρίχνει μια ματιά γύρω της, παρατηρώντας μερικές απορημένες εκφράσεις στο δωμάτιο. Κάποιοι φοιτητές φαίνονται αβέβαιοι για το πώς αυτή η αριθμητική έκφραση συνδέεται με μια βαθύτερη κατανόηση του τρόπου που λειτουργεί ο δυωνυμικός κανόνας στη γενετική.

Δρ. Αντωνίου: Αυτός ο τύπος προκύπτει από την ανάπτυξη του δυωνύμου (a + b)ⁿ. Για ένα μεμονωμένο γεγονός, όπως ο γονότυπος ενός παιδιού, αν το ‘a’ είναι η πιθανότητα να είναι προσβεβλημένο (¼) και το ‘b’ η πιθανότητα να είναι μη προσβεβλημένο (¾), και αν έχουμε n = 4 παιδιά, τότε οποιοσδήποτε συγκεκριμένος αριθμός προσβεβλημένων παιδιών μπορεί να προσδιοριστεί από τον όρο:

p = (n choose k) × aᵏ × b⁽ⁿ⁻ᵏ⁾

όπου:

• p είναι η πιθανότητα του γεγονότος που θέλουμε να υπολογίσουμε (στην περίπτωσή μας, 1 στα 4 παιδιά να έχει τη νόσο)

• k είναι ο αριθμός των γεγονότων που θέλουμε (εδώ, 1 παιδί)

• n είναι ο συνολικός αριθμός των γεγονότων (εδώ, 4 παιδιά)

• a είναι η πιθανότητα του γεγονότος που μας ενδιαφέρει (¼)

• b είναι η πιθανότητα των άλλων γεγονότων (¾)

Εφόσον θέλαμε ακριβώς ένα προσβεβλημένο παιδί ανάμεσα στα τέσσερα, θέτουμε k = 1, a = ¼ και b = ¾. Ο συντελεστής (n choose k) = (4 choose 1) = 4 δείχνει τον αριθμό των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορεί να υπάρχει ένα προσβεβλημένο παιδί ανάμεσα σε τέσσερις γεννήσεις. Κάθε σενάριο έχει πιθανότητα (¼)¹ × (¾)³. Πολλαπλασιάζοντάς τα:

4 × (¼) × (¾)³ = 4 × 0.25 × (0.75)³ = 0.421875, δηλαδή περίπου 42,2%.

Αυτός ο υπολογισμός λαμβάνει υπόψη κάθε πιθανή σειρά γέννησης του μοναδικού προσβεβλημένου παιδιού.

Μπορούμε εύκολα να προσαρμόσουμε αυτή την προσέγγιση για περιπτώσεις όπως ‘ακριβώς δύο προσβεβλημένα παιδιά από τα τέσσερα’. Σε εκείνη την περίπτωση, θα χρησιμοποιούσαμε (4 choose 2), (¼)² και (¾)². Το βασικό σημείο είναι ότι το δυωνυμικό θεώρημα εξασφαλίζει ότι αθροίζουμε όλες τις πιθανές διατάξεις, αντί να επικεντρωνόμαστε σε μία μόνο σειρά γεννήσεων. Αυτό είναι καθοριστικής σημασίας στη γενετική, όπου κάθε εγκυμοσύνη αποτελεί ένα ανεξάρτητο γεγονός. Με την κατανόηση αυτού του τύπου, μπορείτε να προβλέπετε με ακρίβεια την κατανομή των γονοτύπων μέσα στις οικογένειες και να απαντάτε σε ερωτήματα σχετικά με το πόσα παιδιά ενδέχεται να είναι προσβεβλημένα ή μη, σε διάφορες περιπτώσεις.

Συνεχίστε σε: